首先,36=4×9 　　—————————————————————————————————— 　　判断一个数是否是4的倍数,只需看它的后两位. 　　证明： 　　abcdef=abcd00+ef, 　　而abcd00一定是100的倍数,那么它一定是4的倍数. 　　因而,只需看ef是不是4的倍数即可. 　　—————————————————————————————————— 　　判断一个数除以9的余数,等于它所有数位上数字之和除以9的余数. 　　———————————————————————————————— 　　为了排版方便,下面选取一个五位数来证明,任意多位数用10^n符号即可,方法一样. 　　abcde 　　=10000a+1000b+100c+10d+e 　　=9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e) 　　注意到,9999a+999b+99c+9d是9的倍数,不影响除以9的余数. 　　证毕. 　　下面证明一个更为简单的方法. 　　判断一个数除以9的余数,可先将它任意分段,这个余数等于任意分段后所有段的数之和除以9的余数. 　　———————————————————————————————— 　　证明： 　　我们仍然选取一个五位数,任意分段.不妨分为2、1、2. 　　abcde 　　=ab,c,de 　　=1000ab+100c+de 　　=999ab+99c+(ab+c+de) 　　注意到,999ab+99c是9的倍数,不影响除以9的余数. 　　其它分法也一样 　　证毕. 　　下面开始做题. 　　①123456789……19992000的后两位是00,一定是4的倍数. 　　不妨设为4p,p为整数. 　　②123456789……19992000可以分段为 　　1,2,3,4,5,.,1999,2000 　　它们的和为： 　　(1+2000)×2000÷2=2001000 　　这个和÷9的余数为： 　　2+0+0+1+0+0+0=3 　　因而,123456789……19992000÷9的余数即为3 　　不妨设为9q+3,q为整数. 　　因而,4p=9q+3 　　考虑这个不定方程：4x=9y+3 　　可以得知,x=3,y=1是一组特解, 　　那么x=3+9m都是方程的解. 　　于是p=3+9m,m是整数. 　　代入原数, 　　123456789……19992000=4p=4×(3+9m)=12+36m 　　因而,123456789……19992000÷36的余数即为12. 　　【经济数学团队为你解答!】