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问一函数数学题任意二次函数f(x)=x^2+2ax+c,且f(1)=-1,若对于任意x∈[a,a+2],f(x)>-1恒成立,求实数a的取值范围?谢谢,请速度
1人问答 更新时间:2024-03-28 22:29:21
问题描述:

问一函数数学题

任意二次函数f(x)=x^2+2ax+c,且f(1)=-1,若对于任意x∈[a,a+2],f(x)>-1恒成立,求实数a的取值范围?

谢谢,请速度

施隆照回答:
  f(x)=x^2+2ax+c   可以看出这个函数对称轴是x=-a   所以可以分情况讨论.即:   ①当对称轴在区间内的时候:   即:a≤-a≤a+2   -1≤a≤0   此时:函数最小值就是f(-a)   -a²+c>-1   ∵f(1)=-1   ∴1-2a+c=-1   c=2a-2   原不等式化为:a²-2a+1<0   不合题意   ②当对称轴在区间左侧,即-a<a的时候   a>0   此函数的单调递增的.所以a>1   ③当对称轴在区间右侧,即a+2<-a,a<-1的时候   此函数是单调递减的,f(x)的最小值就是f(a+2)   所以   f(a+2)=(a²+4+4a)+2a(a+2)+2(a-1)   解得:   a<-3或者   a>-1/3舍去   综上所述:   a的取值范围为:   (-∞,-3)∪(1,+∞)
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